电磁场与电磁波试题答案

一、填空题（每小题1分，共10分）

1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为，则磁感应强度B和磁场H满足的方程为：。

20称为方程。

2．设线性各向同性的均匀媒质中，

S3．时变电磁场中，数学表达式EH称为。

4．在理想导体的表面，的切向分量等于零。

A(r)穿过闭合曲面S的通量的表达式为：

5．矢量场。

6．电磁波从一种媒质入射到理想表面时，电磁波将发生全反射。 7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。 8．如果两个不等于零的矢量的等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合关系。

10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用函数的旋度来表示。

二、简述题（每小题5分，共20分）

BEt，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 11．已知麦克斯韦第二方程为

12．试简述唯一性定理，并说明其意义。

13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？

三、计算题（每小题10分，共30分）

15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数

ˆxxzeˆyBy2e是否是某区域的磁通量密度？

（2）如果是，求相应的电流分布。

ˆxeˆy3eˆzB5eˆx3eˆyeˆzA2e16．矢量，，求

（1）AB

（2）AB

17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为

ˆx3E0eˆy4E0ejkzEe（1） （2）

试写出其时间表达式； 说明电磁波的传播方向；

四、应用题（每小题10分，共30分）

18．均匀带电导体球，半径为a，带电量为（1） （2）

球内任一点的电场强度 球外任一点的电位移矢量。

1

Q。试求

19．设无限长直导线与矩形回路共面，（如图1所示）， （1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）； （2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。

图1

20．如图2所示的导体槽，底部保持电位为（1） （2）

写出电位满足的方程； 求槽内的电位分布

U0，其余两面电位为零，

无穷远 图2 五、综合题（10 分）

21．设沿

z方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图3所示，该电磁波电场只有x分量即

ˆxE0ejzEe

(1) 求出入射波磁场表达式；

(2) 画出区域1中反射波电、磁场的方向。

区域1 区域2 图3

2

《电磁场与电磁波》试题2

一、填空题（每小题1分，共10分）

1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为，则电位移矢量D和电场E满足的方程为：。

2．设线性各向同性的均匀媒质中电位为，媒质的介电常数为，电荷体密度为程为。

3．时变电磁场中，坡印廷矢量的数学表达式为。 4．在理想导体的表面，电场强度的分量等于零。

V，电位所满足的方

5．表达式SArdSA(r)穿过闭合曲面S的。

称为矢量场

6．电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波将发生。 7．静电场是保守场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。 8．如果两个不等于零的矢量的点积等于零，则此两个矢量必然相互。 9．对横电磁波而言，在波的传播方向上电场、磁场分量为。

10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是场，因此，它可用磁矢位函数的旋度来表示。

二、 简述题（每小题5分，共20分）

11．试简述磁通连续性原理，并写出其数学表达式。 12．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。

BEdldStS13．已知麦克斯韦第二方程为C，试说明其物理意义，并写出方程的微分形式。

14．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？

三、计算题（每小题10分，共30分）

2ˆxyzeˆzAyxe15．矢量函数，试求

（1）A

（2）A

ˆxeˆyˆx2eˆzBeA2e16．矢量，，求

（1）AB

（2）求出两矢量的夹角

222u(x,y,z)xyz17．方程给出一球族，求

（1）求该标量场的梯度； （2）求出通过点

1,2,0处的单位法向矢量。

四、应用题（每小题10分，共30分）

18．放在坐标原点的点电荷在空间任一点r处产生的电场强度表达式为

E

q40r2ˆre

3

（1）求出电力线方程；（2）画出电力线。

19．设点电荷位于金属直角劈上方，如图1所示，求 （1） （2）

画出镜像电荷所在的位置

直角劈内任意一点(x,y,z)处的电位表达式

图1 20．设时变电磁场的电场强度和磁场强度分别为：

EE0cos(te)HH0cos(tm)

（1）

写出电场强度和磁场强度的复数表达式

（2）

1SavE0H0cos(em)2证明其坡印廷矢量的平均值为：

z方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图2所示，该电磁波电场只有x分量即

五、综合题（10分）

21．设沿ˆxE0ejzEe

(3) 求出反射波电场的表达式； (4) 求出区域1 媒质的波阻抗。

区域1 区域2 图2

《电磁场与电磁波》试题3

一、填空题（每小题 1 分，共 10 分）

1．静电场中，在给定的边界条件下，拉普拉斯方程或方程的解是唯一的，这一定理称为唯一性定理。 2．在自由空间中电磁波的传播速度为m/s。

3．磁感应强度沿任一曲面S的积分称为穿过曲面S的。 4．麦克斯韦方程是经典理论的核心。

5．在无源区域中，变化的电场产生磁场，变化的磁场产生，使电磁场以波的形式传播出去，即电磁波。 6．在导电媒质中，电磁波的传播速度随频率变化的现象称为。

4

7．电磁场在两种不同媒质分界面上满足的方程称为。 8．两个相互靠近、又相互绝缘的任意形状的可以构成电容器。

9．电介质中的束缚电荷在外加电场作用下，完全脱离分子的内部束缚力时，我们把这种现象称为。 10．所谓分离变量法，就是将一个函数表示成几个单变量函数乘积的方法。

二、简述题（每小题 5分，共 20 分）

DHJt，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 11．已知麦克斯韦第一方程为

12．试简述什么是均匀平面波。

13．试简述静电场的性质，并写出静电场的两个基本方程。 14．试写出泊松方程的表达式，并说明其意义。

三、计算题（每小题10 分，共30分）

25ˆr2Eer，求 15．用球坐标表示的场

（1） （2）

在直角坐标中点（-3，4，5）处的在直角坐标中点（-3，4，5）处的

E；

Ex分量

16．矢量函数

ˆxyeˆyxeˆzAx2e，试求

A（1）

（2）若在xy平面上有一边长为

的通量。

22u(x,y)xy17．已知某二维标量场，求

2

的正方形，且正方形的中心在坐标原点，试求该矢量A穿过此正方形

（1）标量函数的梯度； （2）求出通过点

1,0处梯度的大小。

四、应用题（每小题 10分，共30分）

ˆx3E0ejkzEe18．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为

（3） （4）

试写出其时间表达式； 判断其属于什么极化。

19．两点电荷（1） （2）

q14C，位于x轴上x4处，q24C位于轴上y4处，求空间点0,0,4处的

电位；

求出该点处的电场强度矢量。

20．如图1所示的二维区域，上部保持电位为（1） （2）

U0，其余三面电位为零，

写出电位满足的方程和电位函数的边界条件 求槽内的电位分布

5

b

a

图1 五、综合题（10 分）

21．设沿

z方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图2所示，该电磁波为沿x方向的线极

E0，传播常数为。

化，设电场强度幅度为

(5) 试写出均匀平面电磁波入射波电场的表达式； (6) 求出反射系数。

区域1 区域2 图2

《电磁场与电磁波》试题（4）

一、填空题（每小题 1 分，共 10 分）

1．矢量

ˆxeˆyeˆzAe的大小为。

2．由相对于观察者静止的，且其电量不随时间变化的电荷所产生的电场称为。 3．若电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹是直线，则波称为。 4．从矢量场的整体而言，无散场的不能处处为零。

5．在无源区域中，变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场，使电磁场以的形式传播出去，即电磁波。 6．随时间变化的电磁场称为场。

7．从场角度来讲，电流是电流密度矢量场的。

8．一个微小电流环，设其半径为a、电流为I，则磁偶极矩矢量的大小为。

9．电介质中的束缚电荷在外加作用下，完全脱离分子的内部束缚力时，我们把这种现象称为击穿。 10．法拉第电磁感应定律的微分形式为。

二、简述题（每小题 5分，共 20 分）

11．简述恒定磁场的性质，并写出其两个基本方程。 12．试写出在理想导体表面电位所满足的边界条件。 13．试简述静电平衡状态下带电导体的性质。 14．什么是色散？色散将对信号产生什么影响？

6

三、计算题（每小题10 分，共30分）

23zP1,1,0处 x,y,zxye15．标量场，在点

（1）求出其梯度的大小 （2）求梯度的方向

ˆx2eˆyBeAeˆx3eˆz16．矢量，，求

（1）AB

（2）AB

A17．矢量场的表达式为 ˆx4xeˆyy2Ae

（1）求矢量场A的散度。

1,1（2）在点处计算矢量场A的大小。

四、应用题（每小题 10分，共30分）

18．一个点电荷q位于（1） （2）

求出空间任一点

a,0,0处，另一个点电荷2q位于a,0,0处，其中a0。 x,y,z处电位的表达式；

求出电场强度为零的点。

19．真空中均匀带电球体，其电荷密度为，半径为a，试求 （1） （2）

球内任一点的电位移矢量 球外任一点的电场强度

20．无限长直线电流I垂直于磁导率分别为（1） （2）

1和2的两种磁介质的交界面，如图1所示。

写出两磁介质的交界面上磁感应强度满足的方程 求两种媒质中的磁感应强度

B1和B2。

B1

1 2

图1 B2

五、综合题（10分）

21．设沿

z方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图

2所示，入射波电场的表达式为

ˆyE0ejzEe（1）试画出入射波磁场的方向 （2）求出反射波电场表达式。

7

图2

《电磁场与电磁波》试题（5）

一、填空题（每小题 1 分，共 10 分）

1．静电场中，在给定的边界条件下，拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯一的，这一定理称为。 2．变化的磁场激发，是变压器和感应电动机的工作原理。 3．从矢量场的整体而言，无旋场的不能处处为零。 4．方程是经典电磁理论的核心。

5．如果两个不等于零的矢量的点乘等于零，则此两个矢量必然相互。 6．在导电媒质中，电磁波的传播速度随变化的现象称为色散。 7．电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的称为极化。 8．两个相互靠近、又相互的任意形状的导体可以构成电容器。

9．电介质中的束缚电荷在外加电场作用下，完全分子的内部束缚力时，我们把这种现象称为击穿。 10．所谓分离变量法，就是将一个多变量函数表示成几个函数乘积的方法。

二、简述题（每小题 5分，共 20 分）

11．简述高斯通量定理，并写出其积分形式和微分形式的表达式。 12．试简述电磁场在空间是如何传播的？ 13．试简述何谓边界条件。

14．已知麦克斯韦第三方程为SBdS0，试说明其物理意义，并写出其微分形式。

三、计算题（每小题10 分，共30分）

15．已知矢量（1） （2）

ˆxxeˆyxyeˆzy2zAe，

求出其散度 求出其旋度

ˆx2eˆyBeAeˆx3eˆz16．矢量，，

（1）分别求出矢量A和B的大小

A（2）B

ˆxyeˆyxEe17．给定矢量函数

，试

8

（1）求矢量场E的散度。

3,4E（2）在点处计算该矢量的大小。

四、应用题（每小题 10分，共30分

18．设无限长直线均匀分布有电荷，已知电荷密度为（1） （2）

空间任一点处的电场强度； 画出其电力线，并标出其方向。

l如图1所示，求

19． 设半径为a的无限长圆柱内均匀地流动着强度为I的电流，设柱外为 自由空间，求

（1） （2）

柱内离轴心r任一点处的磁场强度； 柱外离轴心r任一点处的磁感应强度。

20．一个点电荷q位于一无限宽和厚的导电板上方，如图2所示， （1） （2）

计算任意一点的写出zPx,y,z的电位；

0的边界上电位的边界条件。

图2 五、综合题（10分）

21．平面电磁波在

190的媒质1中沿z方向传播，在z0处垂直入射到240的媒质2中，

120，

如图3所示。入射波电场极化为x方向，大小为（1）求出媒质1中入射波的电场表达式； （2）求媒质2中的波阻抗。

E0，自由空间的波数为k0，

媒质1 媒质2 图3

《电磁场与电磁波》试题（6）

9

一、填空题（每小题 1 分，共 10 分）

1．如果一个矢量场的旋度等于零，则称此矢量场为。 2．电磁波的相速就是传播的速度。

3．实际上就是能量守恒定律在电磁问题中的具体表现。 4．在导电媒质中，电磁波的传播随频率变化的现象称为色散。 5．一个标量场的性质，完全可以由它的来表征。 6．由恒定电流所产生的磁场称为。

7．若电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹是圆，则波称为。 8．如果两个不等于零的矢量相互平行，则它们的叉积必等于。 9．对平面电磁波而言，其电场和磁场均于传播方向。

10．亥姆霍兹定理告诉我们，研究任何一个矢量场应该从矢量的两个角度去研究。二、简述题（每小题 5分，共 20 分）

11．任一矢量场为

A(r)，写出其穿过闭合曲面S的通量表达式，并讨论之。

12．什么是静电场？并说明静电场的性质。 13．试解释什么是TEM波。

14．试写出理想导体表面电场所满足的边界条件。

三、计算题（每小题10分，共30分）

E15．某矢量函数为x2eˆxyeˆy

（1）试求其散度

（2）判断此矢量函数是否可能是某区域的电场强度（静电场）？

C16．已知A、B和C为任意矢量，若ABA，则是否意味着

（1）B总等于C呢？

（2）试讨论之。

4,217．在圆柱坐标系中，一点的位置由3,3定出，求该点在 （1）直角坐标系中的坐标 （2）写出该点的位置矢量。

四、应用题（每小题 10分，共30分）

18．设z0为两种媒质的分界面，z0为空气，其介电常数为

10，z0为介电常数250的媒质2。已知空气中的

电场强度为E14eˆxeˆz，求

（1）空气中的电位移矢量。 （2）媒质2中的电场强度。

19．设真空中无限长直导线电流为I，沿z轴放置，如图1所示。求

10

z I 1

图（1）空间各处的磁感应强度B

（2）画出其磁力线，并标出其方向。

20．平行板电容器极板长为a、宽为b，极板间距为d，设两极板间的电压为U，如图2所示。求 （1）电容器中的电场强度； （2）上极板上所储存的电荷。

图 2 五、综合题（10分）

21．平面电磁波在

190的媒质1中沿z方向传播，在z0处垂直入射到240的媒质2中，

120。电磁波极化为x方向，角频率为300Mrad/s，如图3所示。

（1）求出媒质1中电磁波的波数； （2）反射系数。

媒质1 媒质2 图3

《电磁场与电磁波》试题（7）

一、填空题（每小题 1 分，共 10 分）

1．如果一个矢量场的散度等于零，则称此矢量场为。 2．所谓群速就是包络或者是传播的速度。

3．坡印廷定理，实际上就是定律在电磁问题中的具体表现。 4．在理想导体的内部，电场强度。

A(r)在闭合曲线C上环量的表达式为：

5．矢量场。

6．设电偶极子的电量为q，正、负电荷的距离为d，则电偶极矩矢量的大小可表示为。 7．静电场是保守场，故电场强度从

P1到P2的积分值与无关。

11

8．如果两个不等于零的矢量的叉积等于零，则此两个矢量必然相互。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的三者符合右手螺旋关系。

10．所谓矢量线，乃是这样一些曲线，在曲线上的每一点上，该点的切线方向与矢量场的方向。

二、简述题（每小题 5分，共 20 分）

11．什么是恒定磁场？它具有什么性质？

12．试简述法拉第电磁感应定律，并写出其数学表达式。 13．什么是相速？试写出群速与相速之间的关系式。

D，试写出其积分形式，并说明其意义。

14．高斯通量定理的微分形式为

三、计算题（每小题10 分，共30分）

15．自由空间中一点电荷位于

S3,1,4，场点位于P2,2,3

（1）写出点电荷和场点的位置矢量

R（2）求点电荷到场点的距离矢量

2uyx，求

16．某二维标量函数

（1）标量函数梯度u （2）求梯度在正x方向的投影。 17． 矢量场

ˆxxeˆyyeˆzzAe，求

（1）矢量场的散度

1,2,2处的大小。

（2）矢量场A在点

四、应用题（每小题 10分，共30分）

18．电偶极子电量为q，正、负电荷间距为d，沿z轴放置，中心位于原点，如图1所示。 求（1）求出空间任一点处P（2）画出其电力线。

x,y,z的电位表达式；

图1 19．同轴线内导体半径为a，外导体半径为b，内、外导体间介质为空气，其间电压为U （1）求r（2）求aa处的电场强度；

rb处的电位移矢量。

12

图2

22000B0.510T、10120．已知钢在某种磁饱和情况下磁导率，当钢中的磁感应强度

175时，

此时磁力线由钢进入自由空间一侧后，如图3所示。

B（1）2与法线的夹角2 B（2）磁感应强度2的大小

图3 五、综合题（10分）

21．平面电磁波在

190的媒质1中沿z方向传播，在z0处垂直入射到240的媒质2中，

120。极化为x方向，如图4所示。

（1）求出媒质2中电磁波的相速； （2）透射系数。

《电磁场与电磁波》试题（1）参考答案

二、简答题 （每小题5分，共20分）

11．答：意义：随时间变化的磁场可以产生电场。 （3分）

BdS （2分） 其积分形式为：EdltCS12．答：在静电场中，在给定的边界条件下，拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯一的，这一定理称为唯一性定理。 （3分）

13

它的意义：给出了定解的充要条件：既满足方程又满足边界条件的解是正确的。 13．答：电磁波包络或能量的传播速度称为群速。 （3分）

群速vg与相速vp的关系式为： vgvpdvp1vpd （2分）

D14．答：位移电流：J位移电流产生磁效应代表了变化的电场能够产生磁场，使麦克斯韦能够预

dt言电磁场以波的形式传播，为现代通信打下理论基础。

三、计算题 （每小题10 分，共30分）

15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数By2eˆxxzeˆy是否是某区域的磁通量密度？ （2）如果是，求相应的电流分布。 解：（1）根据散度的表达式

BBxByBxzyz （3分）

将矢量函数B代入，显然有

B0 故：该矢量函数为某区域的磁通量密度。 （1分） （2）电流分布为：

J1B（2分）0eˆxeˆyeˆzxyz（2分） y2xz01xeˆx2yzeˆz（1分）016．矢量

A2ˆexeˆ，By3eˆz5eˆx3eˆyeˆz，求（1）

AB

（2）AB

14

1分）

（ 解：（1）

ˆx2eˆy4eˆz （5分） AB7e（2）AB103310 （5分）

17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为

ˆx3E0eˆy4E0ejkz Ee（5） （6）

试写出其时间表达式； 说明电磁波的传播方向；

解：（1）该电场的时间表达式为：Ez,tReEejt （3分）

ˆx3E0eˆy4E0costkz （2分） Ez,te（2）由于相位因子为ejkz，其等相位面在xoy平面，传播方向为z轴方向。 （5分）

四、应用题 （每小题 10分，共30分）

18．均匀带电导体球，半径为a，带电量为Q。试求 （3） （4）

球内任一点的电场 球外任一点的电位移矢量

解：（1）导体内部没有电荷分布，电荷均匀分布在导体表面，由高斯定理可知在球内处处有：

DdS0 （3分）

S故球内任意一点的电位移矢量均为零，即 （1分）

E0（2）由于电荷均匀分布在rra （1分）

a的导体球面上，故在ra的球面上的电位移矢量的大小处处相等，方

ˆr，由高斯定理有 向为径向，即DD0eDdSQ （3分）

S即 4r2D0Q （1分）

Qˆrˆe整理可得：DD0e2r4rra （1分）

19．设无限长直导线与矩形回路共面，（如图1所示），求 （1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）； （2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。

15

解：建立如图坐标

（1） 通过矩形回路中的磁感应强度的方向为穿入纸面，即为

ˆye方向。

（5分）

（2） 在xoz平面上离直导线距离为x处的磁感应强度可由下式求出：

Bdl0I （3分）

c即： Bˆe0Iy2x （1分） 通过矩形回路中的磁通量

dba/2BdS0IS2xdxdz0Iad2lnd xdza/2b 无穷远 z x

图1 图2 20．解：（1）由于所求区域无源，电位函数必然满足拉普拉斯方程。 设：电位函数为x,y，则其满足的方程为：

2x,y22x2y20 （3分）

（2）利用分离变量法：

x,yfxgy

d2fdx2k2xf0d2gdy2k2yg0 （2分） k2k2xy0根据边界条件x0xay0，x,y的通解可写为：

x,yAnn

nsinxayn1ae16

1分）（

（1分）

再由边界条件：



y0nAnsinxU0an1

求得

AnAn2U01cosnπ （1分） nny2U0na槽内的电位分布为 x,y1cosnπsinxean1n五、综合题 （ 10 分）

1ˆezE （2分） (7) 21．解：（1）H0Eˆy0ejz （2分） He00120 （1分）

ˆx（3分） (2) 区域1中反射波电场方向为eˆy （2分） 磁场的方向为e

《电磁场与电磁波》试题（2）参考答案

二、简述题 （每小题 5分，共 20 分）

11． 答：磁通连续性原理是指：磁感应强度沿任一闭合曲面的积分等于零，或者是从闭合曲面S穿出去的通量等于由S外流入S内的通量。 （3分）

其数学表达式为：

BdS0 （2分）

S12．答：当一个矢量场的两类源(标量源和矢量源)在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。 （3分）

亥姆霍兹定理告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等），需要从散度和旋度两个方面去研究，或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究。 （2分）

17

13．答：其物理意义：随时间变化的磁场可以产生电场。 （3分）

B方程的微分形式：E （2分）

t14．答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。（2分）

极化可以分为：线极化、圆极化、椭圆极化。（3分）

三、计算题 （每小题10分，共30分）

15．矢量函数Aˆxyzeˆz，试求 yx2e（1）A （2）A

AxAyAzA解：（1）xyz2xyy（3分）

（2分）ˆxeAx（2）

yx2ˆyey0ˆzezyz(3分）

ˆxzeˆzx2e（2分）ˆˆˆxeˆy，求 16．矢量A2ex2ez，Be（1）

AB

（2）求出两矢量的夹角

解：（1）

ˆx2eˆzeˆxeˆyAB2eˆxeˆy2eˆze(3分）（2分）

（2）根据ABABcos （2分）

ˆx2eˆzeˆxeˆy2 AB2ecos所以22221 （2分） 260 （1分）

18

uuuˆyˆzeexyz17．解：（1）

ˆx2xeˆy2yeˆz2zeˆxueˆ（2）nuu（3分）

（2分） （2分）

ˆ所以nˆx2eˆy4e416ˆxeˆy2e5 （3分）

四、应用题 （每小题 10分，共30分）

18．放在坐标原点的点电荷在空间任一点r处产生的电场强度表达式为

Eq40r2ˆr e（1）求出电力线方程；（2）画出电力线。

E解:（1）由力线方程得

q40r2ˆreqr40r3q40r3ˆxeˆexyˆzz （2分） yexyz （2分） dxdydz对上式积分得

yC1xzC2y式中，C1,C2为任意常数。 （2）电力线图18-2所示。

（1分）

（注：电力线正确，但没有标方向得3分）

图18-2

图1

19

19．设点电荷位于金属直角劈上方，如图1所示，求 （3） （4）

画出镜像电荷所在的位置

直角劈内任意一点(x,y,z)处的电位表达式

解：（1）镜像电荷所在的位置如图19-1所示。 （注：画对一个镜像得2分，三个全对得5分）

qqq图19-1

图19-2

（2）如图19-2所示任一点(x,y,z)处的电位为

r1其中，

q1111 （3分） 40r1r2r3r4r2r3r4x12y22z2x12y22z2 （2分）

222x1y2zx12y22z220．设时变电磁场的电场强度和磁场强度分别为：

EE0cos(te)HH0cos(tm)

（3）

写出电场强度和磁场强度的复数表达式

（4）

1em) 证明其坡印廷矢量的平均值为：SavE0H0cos(2解：（1）电场强度的复数表达式

jeEE0e （3分）

电场强度的复数表达式

20

jmHH0e （2分）

（2）根据 Sav

1ReEH*2得 （2分）

j(em)11SavReE0H0eE0H0cos(em) （3分）

22五、综合题 （共10分）

21．设沿z方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图2所示，该电磁波电场只有x分量即

ˆxE0ejz Ee(8) 求出反射波电场的表达式； (9) 求出区域1 媒质的波阻抗。

解：（1）设反射波电场

ˆxErejz Ere区域1中的总电场为

区域1 区域2 图2 ˆx(E0ejzErejz) （2分） EEre根据z0导体表面电场的切向分量等于零的边界条件得

ErE0 （2分）

因此，反射波电场的表达式为

ˆxE0ejz （1分） Ere（2）媒质1的波阻抗

因而得 

00 （3分）

120377() （2分）

《电磁场与电磁波》试题（3）参考答案

二、简述题 （每小题 5分，共 20 分）

21

D11．答：它表明时变场中的磁场是由传导电流J和位移电流共同产生（3分）。

t该方程的积分形式为

DHdlJtdS （2分）

CS12． 答：与传播方向垂直的平面称为横向平面；（1分）

电磁场E和H的分量都在横向平面中，则称这种波称为平面波；（2分） 在其横向平面中场值的大小和方向都不变的平面波为均匀平面波。（2分）

13．答：静电场为无旋场，故沿任何闭合路径的积分为零；或指出静电场为有势场、保守场

静电场的两个基本方程积分形式：

SDdSq

Edl0

l或微分形式

E0

D

两者写出一组即可，每个方程1分。 14．答：

2V/ （3分）

它表示求解区域的电位分布仅决定于当地的电荷分布。（2分）

三、计算题 （每小题10分，共30分）

25ˆr2，求 15．用球坐标表示的场Eer（3） （4） 解：

（1）在直角坐标中点（-3，4，5）在球坐标中的矢径大小为：

在直角坐标中点（-3，4，5）处的

E；

在直角坐标中点（-3，4，5）处的Ex分量

r

32425252 （2分）

22

故该处的电场大小为：

E251 （3分） 22r （2）将球坐标中的场表示为

252525ˆr23r3xeˆxyeˆyzeˆz （2分） Eerrr 故

Ex25x （2分） 3r52，x3代入上式即得：

将rEx3220 （1分）

2ˆxyeˆyxeˆz，试求 16．矢量函数Axe（1）A

（2）若在xy平面上有一边长为2的正方形，且正方形的中心在坐标原点，试求该矢量

的通量。 解： （1）

A穿过此正方形

AAyAzAxxyz （3分）

2x1 （2分）

ˆzdxdy （2分） （2） xy平面上面元矢量为 dSe穿过此正方形的通量为

AdSS11x1y1xdxdy0 （3分）

x2y2，求

17．已知某二维标量场u(x,y)（1）标量函数的梯度；

23

（2）求出通过点解：

1,0处梯度的大小。

（1）对于二维标量场

uuuˆxˆy （3分） eexyˆx2yeˆy （2分） 2xe（2）任意点处的梯度大小为

u2x2y2则在点

（2分）

1,0处梯度的大小为：

u2 （3分）

四、应用题 （每小题 10分，共30分）

ˆx3E0ejkz 18．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 Ee（7） （8） 解：

试写出其时间表达式； 判断其属于什么极化。

jt（1）该电场的时间表达式为：Ez,tReEe

(2分)

ˆx3E0costkz （3分） Ez,te(2) 该波为线极化 （5分） 19．两点电荷q1的 （3） （4） 解：

（1）空间任意一点

电位；

求出该点处的电场强度矢量。

4C，位于x轴上x4处，q24C位于轴上y4处，求空间点0,0,4 处

x,y,z处的电位为：

q1x,y,z40x42yz22q240xy4z222 （3分）

24

将x0,y0,z4，q14C，q24C代入上式得空间点0,0,4处的电位为：

0,0,40 （2分）

（2）空间任意一点

x,y,z处的电场强度为

Eq140r13r1q240r23r2 （2分）

其中，r1

将xˆxyeˆyzeˆz， r2xeˆxy4eˆyzeˆz x4e0,y0,z4，q14C，q24C代入上式

r1r242

ˆy4eˆz （2分） ˆx4eˆzr24er14e空间点

0,0,4处的电场强度

Eq14r301r1q24r302r22640ˆexˆy （1分） e20．如图1所示的二维区域，上部保持电位为U0，其余三面电 位为零， （3） （4） 解：

（1）设：电位函数为写出电位满足的方程和电位函数的边界条件 求槽内的电位分布

ba图1 x,y，

则其满足的方程为：

22x,y220 （3分）

xy2x0xa（2）利用分离变量法：

yby00

U0 （2分）

x,yfxgy

25

d2f2kxf02dxd2g2kyg0 （2分） 2dy2kx2ky0根据边界条件x0xanay00，x,y的通解可写为：

x,yAnsinn1nxsinhy a再由边界条件：

求得

ybnAnsinan1nxsinhabU0 An

An2U01cosnπ （2分）

nnsinhba槽内的电位分布为：

x,y2U0nn1cosnπsinxsinhy （1分） naan1nsinhba五、综合题 （10 分）

21．设沿z方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图2所示，该电磁波为沿x 方向的线

极化，设电场强度幅度为E0，传播常数为。 (10) 试写出均匀平面电磁波入射波电场的表达式； (11) 求出反射系数。 解：

1.

由题意：

ˆxE0ejz （5分） Ee（2）设反射系数为R，

区域1 区域2 图2 ˆxRE0ejzEre （2分）

26

由导体表面z0处总电场切向分量为零可得：

1R0

故反射系数 R1 （3分）

《电磁场与电磁波》试题（4）参考答案

二、简述题 （每小题 5分，共 20 分）

11．答：恒定磁场是连续的场或无散场，即磁感应强度沿任一闭合曲面的积分等于零。产生恒定磁场的源是矢量源。 (3分）

两个基本方程：

BdS0 （1分）

CHdlI （1分）

S(写出微分形式也对)

12．答：设理想导体内部电位为2，空气媒质中电位为1。

由于理想导体表面电场的切向分量等于零，或者说电场垂直于理想导体表面，因此有

1S2S （3分）

01nS （2分）

13．答：静电平衡状态下，带电导体是等位体，导体表面为等位面；（2分）

导体内部电场强度等于零，在导体表面只有电场的法向分量。（3分）

14．答：在导电媒质中，电磁波的传播速度随频率变化的现象称为色散。 （3分）

色散将使信号产生失真，从而影响通信质量。 （2分）

三、计算题 （每小题10分，共30分）

15．标量场x,y,zx2y3ez，在点P1,1,0处

（1）求出其梯度的大小 （2）求梯度的方向 解：（1）ˆxeˆyˆzeexyz （2分）

ˆx2xy3eˆy3x2y2eˆzeze

27



Pˆx2eˆy3eˆz（2分） e梯度的大小： 14 （1分）

P（2）梯度的方向

nˆ nˆeˆx2eˆy3eˆz14 16．矢量Aeˆ2eˆxy，Beˆx3eˆz，求 （1）AB （2）AB

eˆxeˆyeˆz解：（1）根据ABAxAyAz BxByBzeˆxeˆyeˆz所以AB120eˆx6eˆy3eˆz2103（2）

ABeˆx2eˆyeˆx3eˆz AB2eˆx2eˆy3eˆz 17．矢量场

A的表达式为

Aeˆx4xeˆyy2 （1）求矢量场A的散度。

（2）在点1,1处计算矢量场A的大小。

28

（3分）

（2分）（3分）

（2分） 2分） 3分）

（（解：（1）

AxAyAzAxyz42y

（2）在点

（3分）

（2分）ˆx4eˆy 1,1处 矢量 Ae（2分）

所以矢量场A在点1,1处的大小为

A42117（3分）

2四、应用题 （每小题 10分，共30分）

18．一个点电荷q位于（3） （4）

求出空间任一点

a,0,0处，另一个点电荷2q位于a,0,0处，其中a0。求 x,y,z处电位的表达式；

求出电场强度为零的点。

图18-1

解：（1）建立如图18-1所示坐标

空间任一点的电位

q12 （3分） 40rr12其中，r1xa2y2z2 （1分）

（1分）

r2xa2y2z2（2）根据分析可知，电场等于零的位置只能位于两电荷的连线上的q的左侧，（2分）

设位于x处，则在此处电场强度的大小为

q12 E2240xaxa

29

（2分）

令上式等于零得

1xa22xa2

求得

x322a （1分）

19．真空中均匀带电球体，其电荷密度为，半径为a，试求 （3） （4）

球内任一点的电位移矢量 球外任一点的电场强度

解：（1）作半径为r的高斯球面，在高斯球面上电位移矢量的大小不变， （2分）

根据高斯定理，有

4D4r2r3 （2分）

3Drra （1分）

3（2）当ra时，作半径为r的高斯球面，根据高斯定理，有

（2分）

4D4r2a3

3a3D3r （2分）

3r电场强度为

a3Er （1分） 330r20． 无限长直线电流I垂直于磁导率分别为1和2的两 种磁介质的交界面，如图1所示。试 （3） （4）

写出两磁介质的交界面上磁感应强度满足的方程 求两种媒质中的磁感应强度B1和B2。

解：（1）磁感应强度的法向分量连续

B1

30

1

B2

图1 2

B1nB2n （2分）

根据磁场强度的切向分量连续，即

H1tH2t （1分）

因而，有

B1t1B2t2 （2分）

ˆ，也即是分界面的切向分量，再根据磁场强度的切（2）由电流在区域1和区域2中所产生的磁场均为e向分量连续，可知区域1和区域2中的磁场强度相等。 （2分） 由安培定律

CHdlI

得 HI2r （1分）

因而区域1和区域2中的磁感应强度分别为

Iˆ1B1e2r （1分）

Iˆ2B2e2r （1分）

五、综合题 （10分）

21． 设沿z方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图2所示，入射波电场的表达式为

ˆyE0ejz Ee（1）试画出入射波磁场的方向 （2）求出反射波电场表达式。

解：（1）入射波磁场的方向如图21-1所示。

（2）设反射波电场

H

图2

31

图21-1

ˆyErejz Ere区域1中的总电场为

ˆy(E0ejzErejz) （2分） EEre根据z0导体表面电场的切向分量等于零的边界条件得

ErE0 （2分）

因此，设反射波电场为

ˆyE0ejz （1分） Ere

《电磁场与电磁波》试题（5）参考答案

二、简述题 （每小题 5分，共 20 分）

11．答：高斯通量定理是指从封闭面发出的总电通量数值上等于包含在该封闭面内的净正电荷。（3分）

其积分形式和微分形式的表达式分别为：

DdVVVVdV

DV （2分）

12．答：变化的电场产生磁场；

变化的磁场产生电场；（3分）

使电磁场以波的形式传播出去，即为电磁波。（2分）

13．答：决定不同介质分界面两侧电磁场变化关系的方程称为边界条件。 (5分) 14．答：其物理意义为：

穿过闭合曲面的磁通量为零，可以理解为：穿过一个封闭面S的磁通量等于离开这个封闭面的磁通量，换句话说，磁通线永远是连续的。 （3分） 其微分形式为：

B0 （2分）

三、计算题 （每小题10 分，共30分）

ˆxxeˆyxyeˆzy2z， 15．已知矢量Ae

（3） （4）

求出其散度 求出其旋度

32

解 （1）

AxAyAzAxyz （3分）

1xy2 （2分）

（2）

eˆxeˆyeˆzAxyzxxyy2z2yzeˆxyeˆz16．矢量Aeˆx2eˆy，Beˆx3eˆz，（1）分别求出矢量A和B的大小

（2）AB

解： （1）

A12225

B123210 （2分）（2）

ABAxBxAyByAzBz 1120031 17．给定矢量函数Eeˆxyeˆyx，试 （1）求矢量场E的散度。

（2）在点3,4处计算该矢量E的大小。

解： （1）

(3分）

2分）（3分）

（3分） 2分）

33

（

（ExEyEzExyz （3分）

0 （2分） ˆx3eˆy，故其大小为 （2）点3,4处E4eE42325 （5分）

四、应用题 （每小题 10分，共30分）

18．设无限长直线均匀分布有电荷，已知电荷密度为l如图1所 示，求 （3） （4）

空间任一点处的电场强度； 画出其电力线，并标出其方向。

解（1）

ˆr，在底面半由电荷的分布对称性可知，离导线等距离处的电场大小处处相等，方向为沿柱面径向e径为r长度为L的柱体表面使用高斯定理得：

图1

图18-2 EdSs侧面EdS顶面EdS底面EdS （3分）

2rLEr00lL/0可得空间任一点处的电场强度为：

ˆrEe

l20r（2分）

（2）其电力线如图18-2所示。（5分） 注：如图中未标明方向得3分

34

19． 设半径为a的无限长圆柱内均匀地流动着强度为I的电流，设柱外为自由空间，求

（3） （4） 解

（1）由电流的柱对称性可知，柱内离轴心r任一点处的磁场强度大小处处相等，方向为沿柱面切向

柱内离轴心r任一点处的磁场强度； 柱外离轴心r任一点处的磁感应强度。

ˆ，由安培环路定律： er2Hdl2rH2Ira (3分) ac整理可得柱内离轴心r任一点处的磁场强度

ˆHerIra (2分) 22aˆ，由安培环路定律： （2）柱外离轴心r任一点处的磁感应强度也大小处处相等，方向为沿柱面切向eBdl2rB0Ira (3分)

c整理可得柱内离轴心r任一点处的磁感应强度

Iˆ0ra (2分) Be2r

20．一个点电荷q位于一无限宽和厚的导电板 上方，如图2所示， （3） （4） 解:

根据镜像法,镜像点的位置如图20-1,并建立如图坐标。 （1）任意一点的P计算任意一点的P写出zx,y,z的电位

0的边界上电位的边界条件

x,y,z的电位表示为

q40r1q40r2 （3分）

x,y,z 35

其中，

r1x2y2zd2r2x2y2zd （2分）

2

图2

图20-1 （2）z0的边界上电位的边界条件为

z00 （5分）

五、综合题 （10分）

21．平面电磁波在190的媒质1中沿z方向传播，在z0处垂直入射到240的媒质2中，

120，如图3所示。入射波电场极化为x方向，大小为E0，自由空间的波数为k0，

（1）求出媒质1中入射波的电场表达式； （2）求媒质2中的波阻抗。 解： （1）

在媒质1中的波数为

媒质1

媒质2 图3 k1110903k0(2分)

媒质1中入射波的电场表达式

ˆxE0ejk1zeˆxE0ej3k0z （3分） Ee（2） 媒质2中的波阻抗为

222 （3分）

2

06040 （2分）

36

《电磁场与电磁波》试题（6）参考答案

二、简述题 （每小题 5分，共 20 分）

11答：穿过闭合曲面S的通量表达式

AdS （2分）

S通量表示在单位时间内流体从闭合曲面内流出曲面S的正流量与从闭合曲面S外流入内部的负流量的代数和，即净流量。 （1分） 当当当0，表示流出多于流入，说明此时在S内有正源；

0则表示流入多于流出，此时在S内有负源；

0则表示流入等于流出，此时在S内无源。 （2分）

12．答：对于观察者静止且量值不随时间变化的电荷产生的电场称为静电场。（3分） 静电场是无旋场。 （2分） 13．答：与传播方向垂直的平面称为横向平面； （1分）

若电磁场分量都在横向平面中，则称这种波称为平面波；（2分） 也称为横电磁波即TEM波。 （2分）

14．答：理想导体表面电场所满足的边界条件： 电场的切向分量为零；

Et0 （3分）

法向分量满足：

En/0

其中，为导体表面电荷密度。 （2分）

三、计算题 （每小题10分，共30分）

15．某矢量函数为E（1）试求其散度

（2）判断此矢量函数是否可能是某区域的电场强度（静电场）？ 解： （1）

ˆxyeˆy x2eExEyEzExyz

（3分）

37

2x1 （2分）

（2）

ˆxeExx20ˆyeyyˆzez0（2分）

（1分）可见，该矢量函数为无旋场，故它可能是某区域的电场强度。 （2分）

16．已知A、B和C为任意矢量，若ABAC，则是否意味着 （1）B总等于C呢？

（2）试讨论之。 解：

（1） 不一定 （5分） （2）

由： ABAC

知： ABC0 （2分）

此时当有三种可能：

BC

或 A0

 或 A与BC相互垂直 （3分）

17．在圆柱坐标系中，一点的位置由4,2,3定出，求该点在 3（1）直角坐标系中的坐标 （2）写出该点的位置矢量。 解：

（1）设直角坐标系中的坐标为

x,y,z，由圆柱坐标系与直角坐标系转换关系得：

38

xcos4cos22 （2分） 3ysin4sin23.464 （2分） 3z3 （1分）

（2）任意点的位置矢量为

ˆxyeˆyzeˆz （3分） rxe将

x,y,z的数值代入得该点的位置矢量：

ˆx3.464eˆy3eˆz （2分） r2e四、应用题 （每小题 10分，共30分）

18．设z其介电常数为10，z0为介电常数2500为两种媒质的分界面，z0为空气，

ˆxeˆz，求 的媒质2。已知空气中的电场强度为E14e（1）空气中的电位移矢量。 （2）媒质2中的电场强度。 解： （1）

空气中的电位移矢量 D10E1 （3分）

ˆx0eˆz （2分） 40e（2）由边界条件如图18-2所示,

xz 切向分量 E2x 法向分量 D2zE1x4

D1z0 （3分）

图18-2 故： E2zD2z/21 51ˆxeˆz （2分） 得媒质2中的电场强度为： E24e519．设真空中无限长直导线电流为I，沿z轴放置，如图1所示。求

39

（1）空间各处的磁感应强度B （2）画出其磁力线，并标出其方向。 解： （1）

由电流的柱对称性可知，柱内离轴心r任一点处的磁场强度大小处处相等，方向为

zIˆ，由安培环路定律： 沿柱面切向eHdl2rHI (3分)

c图1 Iˆ 得： He 2r于是空间各处的磁感应强度为：

Iˆ0B0He2r(2) 磁力线如图19-2所示

（2分）

图19-2 （3分） 方向：与导线电流方向成右手螺旋。 （2分）

20．平行板电容器极板长为a、宽为b，极板间距为d，设两极板间的电压为U，求 （1）电容器中的电场强度； （2）上极板上所储存的电荷。 解

（1）电位满足如下方程

图 2 d20 （1分） 2dx边界条件： x00xdU

40

方程的通解 xCxD

由边界条件得： xUx （2分）

d （2分）

Uˆx故电容器中的电场强度为 Eed（2）

ˆ 上极板上的法向矢量为 n故其上的电荷密度为：

ˆx （1分） eUˆ00End （2分）

总的电荷为 QS0Udab （2分）

五、综合题 （10分）

21．平面电磁波在190的媒质1中沿z方向传播，在z0处垂直入射到240的媒质2中，

120。电磁波极化为x方向，角频率为300Mrad/s，如图3所示。

（1）求出媒质1中电磁波的波数； （2）反射系数。 解 （1）

k0c1 （1分）

媒质1 图3 媒质2 媒质1电磁波的波数

k111 （2分）

0093k03 （2分）

（2）

1012040 13 41

2012060 （2分） 22R2160400.2 （3分）

216040《电磁场与电磁波》试题（7）参考答案

二、简述题 （每小题 5分，共 20 分）

11．答：恒定电流所产生的不随时间变化的磁场称为恒定磁场； （3分）

它具有无散、有旋特性 （2分）

B0 HJ

12．答：当穿过线圈所包围面积S的磁通发生变化时，线圈回路C中将会感应一个电动势；（2分）感应

电动势在闭合回路中引起的感应电流的方向是使它所产生的磁场阻止回路中磁通的变化； （1分）

dEdlBdS （2分） CSdt13．答：电磁波等相位面传播的速度称为相速。 （3分）

所谓群速则是包络或者是能量传播的速度； 相速vp与群速vg的关系式为： vgvpdvp1vpd （2分）

14．高斯通量定理的微分形式为D，试写出其积分形式，并说明其意义。

答：

DdSVdVQ （3分）

SV它表明从封闭面发出的总电通量数值上等于包含在该封闭面内的净正电荷。 （2分）

二、计算题 （每小题10 分，共30分）

15．自由空间中一点电荷位于S3,1,4，场点位于P2,2,3

（1）写出点电荷和场点的位置矢量

42

（2）求点电荷到场点的距离矢量R 解： （1）

点电荷位置矢量 rs场点位置矢量 rfˆxeˆy4eˆz (3分) 3eˆx2eˆy3eˆz （2分） 2e（2）

点电荷到场点的距离矢量

Rrfrs R5eˆx3eˆyeˆz 16．某二维标量函数uy2x，求

（1）标量函数梯度u

（2）求梯度在正x方向的投影。 解：

（1） 对于二维标量场

uuxeˆuxyeˆy （3分） eˆx2yeˆy （2分） （2）梯度在正x方向的投影

ueˆx1 （5分） 18． 矢量场Aeˆxxeˆyyeˆzz，求 （1）矢量场的散度 （2）矢量场A在点1,2,2处的大小。

解： （1）

AAxAyAzxyz （3分） （3分） （2分）

43

1113 （2分）

（2）矢量场

A在点1,2,2处的大小

（3分）

Ax2y2z21222223 （2分）

四、应用题 （每小题 10分，共30分）

18．电偶极子电量为q，正、负电荷间距为d，沿z轴放置，中心位于原点，求 （1）求出空间任一点P（2）画出其电力线。 解：

（1） 空间任一点P处的坐标为

则该点处的电位为：

x,y,z处的电位表达式

x,y,z

x,y,z其中，

q40r2q40r1 （3分）

r1x2y2zd/2222r2xyzd/2（2）电力线图如图18-2所示（5分）

（2分）

20电力线

零电位面 图1 图18-2 019．同轴线内导体半径为a，外导体半径为b， 内、外导体间介质为空气，其间电压为U （1）求r（2）求a

a处的电场强度

rb处的电位移矢量

44

图2

解：

（1） 导体内部没有电荷分布，故内导体内部ra处

的电场强度处处为零。 （5分）

（2）

设单位长内导体表面电荷密度为l，由电荷的分布对称性可知，离导线等距离处的电场大小处处相等，

ˆr，在底面半径为r长度为L的柱体表面使用高斯定理得： 方向为沿柱面径向eEdSs侧面EdS顶面EdS底面EdS

2rLEr00lL/0可得arb任一点处的电场强度为：

ˆrEe再由

l （ 3分）

20rUEdrrabllb drln20r20arab得arb任一点处的电位移矢量为：

ˆrD0Eerlnb/a0U （2分）

220．已知钢在某种磁饱和情况下磁导率120000，当钢中的磁感应强度B10.510T、

175时，此时磁力线由钢进入自由空间一侧后，如图3所示。求

（1）B2与法线的夹角2 （2）磁感应强度B2的大小

解： （1） 由

tan11tan22tan2图3 (3分)

2tan1 145

20.107 （2分）

（2） 边界上电流为零，由边界条件

B1cos1B2cos2 （3分）

B2B1cos1cos2

B20.129102T （2分）

五、综合题 （10分）

21．平面电磁波在190的媒质1中沿z方向传播，在z0处垂直入射到240的媒质2中，

120。极化为x方向，如图4所示。

（1）求出媒质2中电磁波的相速； （2）透射系数。 解：

（1）

媒质2中电磁波的相速为：

媒质1 媒质2 图4 vp2

（2）

12212003分2分c1.5108m/s21012040 132012060 （2分） 22T221201.2 （3分）

216040

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