中考数学大纲对学生智力的培养
中考数学主要是以完成义务教育阶段学业的初中毕业生为对象的考试，其结果时事高考招生的重要依据，也是衡量学生是否达到课程标准水平的参考依据。数学考试应具有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度。中考数学是由北京教育考试院命题，是以教育部制订的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的“课程目标”与“内容标准”的规定为考试范围，闭卷，书面作答，满分120分，考试时间为120分钟。
中考数学大纲中对中学生的能力要求并未进行明确的规定，只是按照考试范围内容简单的划分了A、B、C三个层次：A：能对所学知识有基本的认识，能举例说明对象的有关特征，并能在具体情境中进行辨认，或能描述对象的特征，并能指出此对象与有关对象的区别联系。B：能在理解的基础上，把知识和技能运用到新的情境中，解决有关的数学问题和简单的实际问题。C：能通过观察、实验、推理和运算等思维活动，发现对象的某些特征及与其他对象的区别联系；能综合运用知识，灵活、合理地选择与运用有关的方法，实现对特定的数学问题或实际问题的分析与解决。这三个层次可以这样理解：A、掌握所以学基础知识B、所学知识的初步迁移C、所学知识的进一步迁移。由此看出，中考数学的考察重点是知识的迁移能力。初中的学生正处在青春期。学生的独立性变强，思维变得越来越复杂。根据皮亚杰的认知发展理论，此时初中生处在形式运算阶段，即初中生可以采用逻辑的形式原则，抽象地思考问题，而不再局限于具体的术语。他们可以通过进行简单的实验和观察实验的结果来系统化的检验自己对问题的理解。另外初中生还可以进行形式推理，即从一般的理论出发，演绎出在特殊环境下特殊结果的解释。具体的说就是他们像科学家一样，提出假设，接着检验这些假设，并能抽象出几种可能性（最初级的分类讨论）。其实皮亚杰说的这些理论，与中考数学的考察的能力不谋而合，也就是说形式运算阶段具体就是对所学知识的迁移运用。从而皮亚杰理论也说明了为什么中考数学要考察A、B、C三个能力。由此我们不难理解，为什么中考大纲提出的对学生能力的要求实际上是对学生智力的要求，因此我们在这里需要关注的是中考大纲对学生的智力发展的培养。接下来，我们先就初中生思维发展的特点进行讨论，以了解在这个年龄阶段的学生应该掌握的思维能力由什么组成，并且去思考中考大纲对这些能力的培养，是通过怎样的方式实现的。
一、 中考大纲对学生数学能力培养的细化以及初中生思维发展的分析
（一）初中生思维发展特点
初中生智力的发展，最主要的在于其新的思维特点的出现。按照皮亚杰(J.Piaget)关于个体智力发展年龄阶段的划分，初中阶段正是“形式运算”阶段(12—15岁)。这个阶段的主要思维特点是，在头脑中可以把事物的形式和内容分开，可以离开具体事物，根据假设来进行逻辑推演，能运用形式运算来解决诸如组合、包含、比例、排除、概率及因素分析等逻辑课题。朱智贤也认为，初中生思维活动的基本特点是抽象逻辑思维已占主导地位，但有时思维中的具体形象成分还起作用。可见，初中生思维最主要的特点就是其思维的抽象逻辑性，这一特点体现于以下诸多方面。
(1)运用假设
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皮亚杰认为，在形式运算阶段，个体具有一种“可能性”及“现实性”之间的逆向思维，这种逆向思维使“可能性”已不仅仅再是个体行为或经验的一种延伸，相反，“现实性”却出现于“可能性”之后了。 事实和实验均表明，初中生在面临智力问题时，并不是直接去抓结论，而总是通过首先挖掘出隐含在问题材料情景中的各种可能性，再用逻辑分析和实验证明的方法对每一种可能性予以验证，最后确定哪一种可能性是事实。因此，对于初中生来说，已认识到了现实只是包含于由事实与假定构成的总体中的一个子集，它通常并不直接出现于我们面前，而需要用逻辑方法去搜寻。正是由于初中生已具有了这种建立假设及检验假设的能力，才使得他们的思想相对于童年期更具有深度、广度、精确性和灵活性。虽然处于具体运算阶段(7—11岁)的儿童在解决问题时，也能产生一些初步的，与实际经验密切相联系的假设，但他们运用假设、检验假设的能力则具有极大的局限性，最明显的表现是，一旦他们产生了一个对问题情景的可能性解释，就会立刻将它认定为事实；而初中生的情况恰恰相反，他们常用十分怀疑的态度认真地检验每一个假设，甚至是那些看起来很怪异的假设也不放过，而决不轻易地承认任何一种可能性。
埃尔金德(Elkind,1970)所做的一个关于个体形成概念的实验就充分揭示了小学儿童与初中生在建立和检验假设过程的思维差异。实验中的两组被试分别为8至9岁的儿童和13至14岁的少年。实验材料是各种各样的有轮子的一般工具和无轮子的一般工具以及有轮子的交通工具和无轮子的交通工具的图片，在实验中，主试不断地向被试呈现图片，但每次只呈现两张，在被试看后，要求他选出一张图片，如果他选择了带有轮子的图片(无论是一般工具还是交通工具)主试就告诉他选对了，如果他选择了不带轮子的图片就告诉他选错了，直到他能说出决定选择正确与否的线索是“轮子”而非其他任何特征时，就算完成了此任务。两个年龄组被试的反应差异非常显著，在小学组被试中，只有一少半儿童能发现“轮子”是解决问题的关键线索，而且他们要将72组图片都一一看过之后，才能得出结论；而少年组的所有被试都能正确解决问题，而且多数人只看了10组图片即发现了答案。研究者分析到，在完成这个思维任务过程中，少年组的思维倾向是，不断地检验假设，迅速地放弃不正确的假设，及时地建立新的假设；儿童组的思维倾向是，他们总是固守着若干最初产生的假设，即使在这个假设不断地遇到障碍后，仍不放弃，而且这个假设往往是包含于问题情景中较明显的，但却是表面化的不正确的“关系”，对这种“关系”的固守，必定延迟问题的解决，甚至导致失败。由此可见，初中生相对于小学生来说，具有了更高程度的建立假设及检验假设的能力，这是他们思维中抽象逻辑性特点的重要表现之一。
(2)逻辑推理
初中一年级开始，初中生就开始具备各种逻辑推理能力。
在一项关于中学生思维发展的研究中，调查者向初一、初三和高二的被试呈现25道关于“推理发展水平”及“推理运用水平”的测试题。结果发现，从初中一年级起，学生已具备了各种推理能力，但是不同年级间在推理发展水平和推理运用水平上具有明显差异，初一学生虽然已经开始具备各种推理能力，但还是初步的，特别是在假言、选言、复合、连锁等演绎推理方面的能力还比较差；初三学生的推理有了明显的发展，上述几项演绎推理的正确率已超过50%。
初中生的逻辑推理能力的发展是不平衡的，总体来讲，归纳推理的能力高于演绎推理的能力。在对各种演绎推理的掌握上，也有一个发展顺序，最先掌握的是直言推理，其次是复合推理和选言推理，最后是连锁推理；初中生推理运用水平的发展顺序是，最先掌握的是排除推理中的干扰，其次是改正错误，最后是运用推理去解决问题。
(3)运用逻辑法则
初中生对各类逻辑法则的掌握主要表现在对于矛盾律、排中律和同一律的认识上。我国的研究表明：在掌握上三类逻辑法则的总平均得分的正确率上，初一被试为68.26%，初三被试为72.78%。而且，初中生掌握不同逻辑法则的能力也存在着不平衡性，在三类逻辑法则中，对矛盾律和同一律的得分明显高于在排中律上的得分；
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他们对逻辑法则运用的水平也不一样，在正误判断问题上的成绩最高，在多重选择问题上的成绩次之，最差的是回答问题的总成绩。
初中生抽象逻辑思维的发展还体现在对概念的掌握上。进入青春期之后，初中生日益掌握了更多的抽象概念和更复杂的概念系统。当然，与上述抽象思维发展的三个侧面一样，对抽象概念及概念系统的掌握，在初中阶段，也有一个逐渐发展的过程。
（二）、思维品质的矛盾发展
与初中生心理发展的矛盾性特点相呼应，在初中生的思维品质中也显示出明显的矛盾性，主要表现为在思维创造性和批判性得到明显增加的同时，思维中的片面性和表面性的表现依然突出。
(1)思维的创造性和批判性日益明显
思维的创造性，亦即思维的独创性，是人类思维的一种形态。它是在问题情景面前，采取新颖、独特的对策去解决问题的一种思维品质。
初中生具有强烈的求知欲和探索精神，他们兴趣广泛、思想活跃、敏感，与成人相比较少有保守性，他们喜欢进行丰富的、奇特的幻想，喜欢别出心裁和标新立异，他们在许多方面都表现出强烈的创造欲望，例如，他们迷恋各种富有创造性的科技制作活动；在文体活动中也表现出极高的创作热情；在自己编排的节目中，虽然仍显出稚拙，但富有新的创意；在日常的课业中，也充分体现出他们富有创造性的特点，如，初中生的作文，从内容到形式，模仿的成份都在逐渐减少，独创成份不断增多；在解题的过程中，不满足于一种方法，竭力寻求不同的方法，试图做到举一反三，一题多解，触类旁通。
初中生的这种创造欲望，主要来自于他们心理上强烈的成人感及高涨的自我意识。他们要证实及展示自己的能力及才华，要摆脱过去那种“被动接受”式的学习方法以及对教师、父母及教科书的依赖，因而，在各个方面都表现出明显的创造意识和热情。另外，这种思维的创造性与求异思维有密切关系。求异思维和求同思维是主体思维的两个主要方面，有关研究表明，初中生的求异思维的发展非常明显，而求同思维的发展则比较缓慢 ，这也是初中生创造性思维发展的原因之一。
在初中生创造性思维发展的同时，其思维的批判性也明显地发展起来。
思维的批判性，是指在思维活动中善于严格地分析思维材料并精细地检查思维过程的一种思维品质，它具有分析性、策略性、全面性、独立性以及正确性的特点。
初中生思维批判性的出现也是与其自我意识的发展密切相联的，由于自我意识水平的提高，使他们能通过控制自己的意识而调节自己的思维活动。
初中生思维批判性的明显增长，一方面表现在他们不愿轻易地接受别人的意见，对别人的思想、态度及意见，经常要做一番审查，甚至有时持过份怀疑和批评的态度；另一方面，表现在他们开始严肃认真地对待自己的思想和主张，能够有意识地调节、支配、检查和论证自己的思想；最后，还表现在对世界宇宙的看法上，开始热衷于探讨那些极为深奥而神秘的星辰运转、生命起源等问题，显露出一种不愿盲目生存的人生态度的萌芽。
初中生思维中的这种日益增长的创造性和批判性，表明他们的思维正逐步走向成熟。 (2)思维的片面性和表面性依然存在
初中生思维发展的另一个明显的特点就是思维片面性和表面性非常明显。
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初中生思维的片面性主要表现在其思想的偏激与极端，不能全面、辩证地分析问题、解决问题，而是抓住一点而不计其余。这种思想的片面性，首先反映在他们对人、对事的态度上，狂热的“明星崇拜”就是出现在这个年龄阶段，少男少女们常搜集大量的、他们所崇拜的明星照片，甚至在发式、服装、姿态及言行举止上都去竭力模仿某位明星，从中能获得心理上的满足感，而没有明确意识到自己在现实生活中的身份及所应追求的目标；其次，思维的片面性还使初中生在思考、分析问题时极易钻牛角尖，经常陷入思想的死潭而不能自拔，严重者会出现心理障碍；第三种表现是，初中生在日常的学业活动中，在显示出很高的创造力的同时，又暴露出思想上缺乏严谨的逻辑性及全面性，所以，对问题的最后处理结果常常是虽很有新意，但并不准确。 初中生思维的表面性主要表现为，他们在分析问题时，还经常被事物的个别特征或外部特征所困扰，难以深入到事物的本质中，如在一个关于儿童青少年获得几何概念的实验中(陈英和，1992)发现，在初中被试所归纳的各种几何概念的性质中，一般都能归纳出某几何概念的较为明显而重要的性质，但也容易遗漏一些隐蔽的、但却是事物的本质内涵。他们在对某种社会现象或某种道德行为进行评价时，往往也易失之表面化。 总之，初中生思维品质的发展也具有矛盾性，同样体现出半成熟、半幼稚的特点，随着他们各种相关能力的增强，其思维品质也将获得更全面的发展。
(二)中考大纲对学生的能力要求
中考数学对学生能力的考查，首先是立足双基，注重数学核心观念、内容和思想方法。新课标比较注重培养学生的基本运算能力和基本解题能力，强调在解题中灵活运用数学的核心观念、内容和思想方法，突出考查学生综合运用数学知识解决问题的能力及运用知识、自主学习的能力。其次，中考数学以能力立意，刻意创新，强调过程与方法。所以初中生在学习时，要重视探究能力的培养，无论试题形式和知识背景如何千变万化，都能灵活地运用数学思想方法，处理好“通法”和技巧的关系。第三，中考数学试题创设问题情景，体现建模过程，突出应用性。因此要求学生在平时学习时，都能注重用数学的眼光来看待问题，发现问题，进而解决问题。由上面可以得到，中考数学重点考查：数学基础知识，基本思想，基本能力。
（1）对数学知识的考查，既要全面又要突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主题，注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面。从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度
（2）对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度。在此阶段初中生不一定知道什么事数学思想，但是能通过一些具体例子去套用，这就是初中生利用知识的“相似性”，从而达到知识迁移的目的。
（3）中考数学重点考察学生的阅读能力、动手实践能力、探索发现能力以及合情推理能力、抽象归纳能力的考查。在中考数学中，或设计了阅读材料，让考生通过阅读试题提供的材料去获取相关信息，进而加工、整
合，形成解决问题的方案；或设计了问题的情景，让考生分析、说理，从而考查交流和表达的能力；或设计了一些新颖的动态场景，让考生通过观察、分析、归纳来发现规律，等等。从而达到考查考生基本数学素养和一般能力的目的，促进学生的全面发展。
通过以上分析，可以看出初中生已经开始具备初步的抽象推动能力，同时也是中考大纲对学生考查的重点能力。因此初步的抽象推断能力是初中生必须培养的能力。
二、 中考数学常用的数学思想
所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历
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史地发展着的。通过数学思想的培养，数学的能力能才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。 通过对中考的统计，常用的数学思想有： 1. 函数思想：
把某一数学问题用函数表示出来，并且利用函数探究这个问题的一般规律。这是最基本、最常用的数学方法。 2. 数形结合思想：
“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。具体应用的部分：
1、数轴上的点与实数的一一对应的关系。 2、平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。 3、函数式与图像之间的关系。
4、线段（角）的和、差、倍、分等问题，充分利用数来反映形。
5、解三角形，求角度和边长，引入了三角函数，这是用代数方法解决何问题。
6、“圆”这一章中，贺的定义，点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的。 7、统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表，用这些图表的反映数据的分情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数据扮布情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数的特征，这是数形结合思想在实际中的直接应用。
例2、已知一次函数y=(a-1)x+b的图象如图所示，那么a的取值范围是（ ）
A．a>1 B. a<1 C. a>0 D. a<0 解：由于图象过一、二、三象限，
所以k>0，即 a-1>0。解得a>1。故选A。
精析：本题考查了一次函数及其图象、不等式的相关知识，属中等难度的题目。在本题中还涉及了数形结合的数学思想。
说明：利用数形结合的思想方法解题一定要充分发挥数与形各自的优势，不停地进行数与形之间的转换，从而达到方便、快捷、正确地求解。 3. 分类讨论思想：
当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论。集中体现为：
有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类，三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等都是通过分类讨论的。
例3、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（） A、20 ° B、 120 ° C 、20°或120° D、36°（07年重庆市中考题） 解：等腰三角形的两内角度数为1:4，则三个内角比为1:1:4 或1:4:4， 顶角：180° =120° 180° =20°。故选C。
4.方程思想：
当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。例如证明柯西不等式的时候，就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式。
例4、如果两个圆的一条外公切线长等于5，另一条外公切线长等于2a+3，那么a=
解：本题考查了圆的两条外公切线长一定相等这一性质。根据这一性质可知：2a+3=5，解得：a=1。 评析：本题由圆的两条外公切线长相等作为构造方程的依据，从而利用方程思想达到解题的目的。 4. 整体思想：
从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体
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运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。 5. 转化思想：
在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题。三角函数，几何变换，因式分解，解析几何，微积分，乃至古代数学的尺规作等数学理论无不渗透着转化的思想。常见的转化方式有：一般 特殊转化，等价转化，复杂 简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等。 1、 2、
分式方程的求解是分式方程转化为前面学过的一元二次方程求解，这里把待解决的新问题化为已解决解直角三角形；把非直角三形问题化为直角三角形问题；把实际问题转化为数学问题。
的问题来求解，体现了转化思想。
3、“圆”这一章中，证明圆周角定理进所做的分析：证明弦切角定理的思路：求两圆的切线长的问题。这些转化都是通过辅助线来完成的。
4、把三角形或多边形中的某种线段或面积问题化为相似比问题来解决。 7.隐含条件思想：
没有明文表述出来，但是根据已有的明文表述可以推断出来的条件，或者是没有明文表述，但是该条件是一个常规或者真理。 8.类比思想：
把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。 9.建模思想：
为了描述一个实际现象更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。 10.化归思想：
化归思想就是化未知为已知,化繁为简,化难为易.如将分式方程化为整式方程,将代数问题化为几何问题,将四边形问题转化为三角形问题等.实现这种转化的方法有:待定系数法,配方法,整体代人法以及化动为静,由抽象到具体等转化思想 11.归纳推理思想:
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理(简称归纳),简言之,归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理
另外，还有概率统计思想等数学思想，例如概率统计思想是指通过概率统计解决一些实际问题，如摸奖的中奖率、某次考试的综合分析等等
。另外，还可以用概率方法解决一些面积问题。
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