邓州一高分校第六次周练试题

邓州市一高中分校2012—2013学年上学期第五次周练

数学（理）试题

命题：赵肖雄 审题：范荣源 2012-11-24

本试卷由第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）组成

第I卷（选择题，共60分）

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.设P和Q是两个集合，定义集合PQ=x|xP,且xQ，如果Pxlog2x1，

Qxx21那么PQ等于

A．{x|02.下列命题是真命题的是

 B．xR,2x10 2 C．若向量a、b满足a‖b，则 a+b=0 D．若xy,则 x2y2

A．若sinxcosy，则xy3.当0x1时，则下列大小关系正确的是 A .x33xlog3x B . 3xx3log3x C . log3xx33x D . log3x3xx3 4． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A．2 B．1 C．

5.定义行列式运算

2 3a1a2a3a4D．

1 3sin2xcos2x31的图象向左平移=a1a4a2a3．将函数f(x)个单6位，以下是所得函数图象的一个对称中心是 A．,0 B．,0 42

C．,0 3

D．,0 126.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S150,S160,则

SS1S2,,,15中最大的为 a1a2a15 A.S6SSS B.7 C.9 D.8 a6a7a9a8 1

7.如果f(x)是二次函数, 且f(x)的图象开口向上,顶点坐标为(1,3), 那么曲线yf(x) 上任一点的切线的倾斜角的取值范围是 A．(0,2] B．[,) C．(,] D．[,) 3322338.在数列{an}中，已知a12,a27,an2等于anan1(nN)的个位数，则a2008的值是 A．2 B．4 C．6 D．8

9.由曲线xy1，直线yx,y3所围成的平面图形的面积为

A．

32 B．2ln3 C．4ln3 9 D．4ln3

10. 若ab0，则方程(axyb)(bx2ay2ab)0表示的曲线只可能是

A B C D 运动，设APABAD（,都是实数），则2的

11．设长方形ABCD边长分别是AD=1，AB=2（如图所示），点P在BCD内部和边界上

取值范围是 A．[1，2] B．[1，3]

C．[2，3] D．[0，2]

12.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)f(x4)，当x2

时，f(x)单调递增，如果x1x24且(x12)(x22)0，则f(x1)f(x2)的值 A.恒小于0 B.恒大于0 C.可能为0 D.可正可负

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13. 向量a,b的夹角为120°，|a|1,|b|3,则|5ab|= .

x1,x014.已知函数f(x)x，则f(f(0)3) .

e,x015.已知正实数x,y满足xy3xy，若对任意满足条件的x,y，都有

2

(xy)2a(xy)10恒成立，则实数a的取值范围为 .

16.设fx＝asin2x＋bcos2x，其中a,bR,ab0. 若fxf对一切xR 6恒成立，则以下结论正确的是 ___________（写出所有正确结论的编号）． ① f11127； ②0f()f()； 125③ fx既不是奇函数也不是偶函数； ④ fx的单调递增区间是k6,k2kZ； 3⑤ 经过点a,b的所有直线均与函数fx的图象相交．

三、解答题(本大题6小题共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17.（本小题满分10分） 已知向量a(sinx,),b(cosx,1). （1）当a//b时，求cosxsin2x的值；

（2）设函数f(x)2(ab)b，已知在△ ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2343,b2,sinB6,求fx4cos2A (x0,)的取值范围. 363

18．（本题满分12分） 某品牌汽车4s店对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如表所示： 付款方式 频数 分1期 40 分2期 20 分3期 a 分4期 10 分5期 b 已知分3期付款的频率为0.2，4s店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元，分2期或3期付款其利润为1.5万元，分4期或5期付款，其利润为2万元，用Y表示经销一辆汽车的利润. （1）求上表中a，b的值；

（2）若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有一位采用3

期付款”的概率P（A）；

（3）求Y的分布列及数学期望EY.

3

19.(本小题满分12分）设正项等比数列{an}的首项a1且210S30(2101)S20S100. （1）求{an}的通项； （2）求{nSn}的前n项Tn.

20．（本小题满分12分） 如图，在底面为直角梯形的

D∥BC，ABC90°四棱锥P中A，ABCD

1,前n项和为Sn， 2PEABDCB3，B BCD，AC4．D1，APD平面A（1）求证：BDPC；

（2）求直线AB与平面PDC所成的角.

21.（本小题满分12分）已知椭圆C的中心为直角坐标系xoy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. （1）求椭圆c的方程；

（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，圆C的离心率），求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

22．（本小题满分12分）已知函数f(x)ax1lnx(aR)． （1）讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；

（2）若函数f(x)在x1处取得极值，对x(0,),f(x)bx2恒成立，

求实数b的取值范围； （3）当xye1时，求证：exyOPOMe（e为椭

ln(x1)．

ln(y1) 4

邓州市一高中分校2012—2013学年上学期第五次周练

数学（理）参考答案

一．选择题：

1—5：A B C C B 6—10: D B D D C 11-12: B A 二．填空题：

13．7 14．-1 15．,三．解答题： 17.解： （1）

237 16．① ③ ⑤ 633a//b,cosxsinx0,tanx…………2分

44

cos2x2sinxcosx12tanx8cosxsin2x …………5分

sinx2cos2x1tan2x5 （2）f(x)2(ab)b32sin(2x)+

42由正弦定理得

ab2可得sinA,所以A,或A3 sinAsinB244 因为ba，所以A4 …………8分

111, fx4cos2A2sin(2x),x0,2x,24634412所以

311fx4cos2A2 …………10分 262a0.2 a20 1004020a10b10018．解：（1）

b10……………………4分

（2）记分期付款的期数为x，则：P(x1)400.4，P(x2)0.2，P(x3)0.2 100P(x4)0.1 P(x5)0.1，故所求概率

1P(A)0.83C30.20.820.896…………8分

（3）Y可能取值为1，1.5，2（万元） P(Y1)P(x1)0.4

5

P(Y1.5)P(x2)P(x3)0.4，P(Y2)P(x4)P(x5)0.2

Y的分布列为：

Y P

1 0.4

1.5 0.4

2 0.2

Y的数学期望EY10.41.50.420.21.4（万元）………………12分 19.解：（1）由

210S30(2101)S20S100 得

210(S30S20)S20S10,…２分

即

210(a21a22a30)a11a12a20,

…………４分

可得

210q10(a11a12a20)a11a12a20.1010a02q1, 解得n因为，所以

q

1

2， …………５分

因而

ana1qn11,n1,2,.n2 ……………………６分 11

q

2、公比2的等比数列，故

（2）因为

{an}是首项

a111(1n)211,nSnn.Sn2n12n2n12 ……………………8分 12nTn(12n)(2n),{nSn}的前n项和 222 则数列

Tn112n1n(12n)(23nn1).222222

Tn1111n(12n)(2n)n122222 前两式相减，得 2 6

11(1n)n(n1)22nn(n1)1n142n1Tnn1n2.12222 即 ……12分

20. 解：【方法一】

222（1）证明：由题意知D C23, 则BC=DBDC，，BDDCPD面ABCD，BDPD，而PDCDD， （5分） BD面PDC.PC在面PDC内，BDPC.（2）∵DE∥AB，又PBCD. D平面A ∴平面PDC平面ABCD. 过D作DF//AB交BC于F

过点F作FGCD交CD于G,则

∠FDG为直线AB与平面PDC所成的角.

在Rt△DFC中，∠D，D，FC90F3,CF3B PEAFDGC∴t，∴∠F. anFDG3DG60即直线AB与平面PDC所成角为60. （12分） 【方法二】如图，在平面ABCD内过D作直线DF//AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP

所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

（1）设P， Da，则BD(1,3,0),PC(3,3,a) ∵B. （5分） DPC330，∴BDPC（2）由（1）知B. D面PDC，DB 就是平面PDC的法向量由条件知A（1，0，0），B（1，3，0），

zPEAB(0,3,0),DB(1,3,0). AxDGB与面PDC所成角大小为设A，

BCyF|DBAB|33in. 则s|DB||AB|232 即直线A为60. （12分） 090，60,B与平面PDC所成角ac7,x2y221.（1）设椭圆C的方程为221(ab0)， 由题设得

abac1,x2y21. …………６分 解得a4,c3.由此得b7， 故椭圆C的方程为

1672（2）由（1）得e3，设M(x,y),P(x,y0),x4,4， 42x2y0922222由故e,9(xy). * e得216(xy)02xy16OMOP 7

1127x2,代入*式并化简得9y2112. 由点P在椭圆C上得y1620故点M的轨迹方程为y22.解：（1）f(x)a47(4x4),轨迹是两条平行于x轴的线段. …12分 31ax1， xx当a0时，f(x)0在(0,)上恒成立，函数f(x) 在(0,)单调递减，∴f(x)在(0,)上没有极值点； 当a0时，f(x)0得0x111，f(x)0得x， ∴f(x)在(0,)上递减，在aaa11(,)上递增，即f(x)在x处有极小值．

aa∴当a0时f(x)在(0,)上没有极值点， 当a0时，f(x)在(0,)上有一个极值点．4 （2）∵函数f(x)在x1处取得极值，∴a1， …………5分 ∴f(x)bx211lnx1lnx，可得g(x)在0,e2上递减，b， 令g(x)1xxxx在e2,上递增， ∴g(x)ming(e2)1（3）证明：exy1e2，即b11．…8分 e2ln(x1)exey， ln(y1)ln(x1)ln(y1)ex令g(x)，则只要证明g(x)在(e1,)上单调递增，………9分

ln(x1)1exln(x1)x1，

又∵g(x)ln2(x1)显然函数h(x)ln(x1)∴h(x)11在(e1,)上单调递增． x110，即g(x)0， eexey∴g(x)在(e1,)上单调递增，即， ln(x1)ln(y1)∴当xye1时，有exyln(x1)． ………………12分

ln(y1) 8